Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




30.07.2022


19.06.2022


25.04.2022


06.03.2022


27.02.2022





Яндекс.Метрика





Полное метрическое пространство

27.06.2022

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство X = ( X , ρ ) {displaystyle X=(X, ho )} можно вложить в полное пространство Y {displaystyle Y} таким образом, что метрика Y {displaystyle Y} продолжает метрику X {displaystyle X} , а подпространство X {displaystyle X} всюду плотно в Y {displaystyle Y} . Такое пространство Y {displaystyle Y} называется пополнением X {displaystyle X} и обычно обозначается X ¯ {displaystyle {ar {X}}} .

Построение

Для метрического пространства X = ( X , ρ ) {displaystyle X=(X, ho )} , на множестве фундаментальных последовательностей в X {displaystyle X} можно ввести отношение эквивалентности

( x n ) ∼ ( y n ) ⇔ lim ρ ( x n , y n ) = 0. {displaystyle (x_{n})sim (y_{n})Leftrightarrow lim ho (x_{n},y_{n})=0.}

Множество классов эквивалентности X ¯ {displaystyle {ar {X}}} с метрикой, определённой

ρ ¯ ( ( x n ) , ( y n ) ) = lim ρ ( x n , y n ) , {displaystyle {ar { ho }}((x_{n}),(y_{n}))=lim ho (x_{n},y_{n}),}

является метрическим пространством. Само пространство ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x ∈ X {displaystyle xin X} соответствует класс постоянной последовательности x n = x {displaystyle x_{n}=x} . Получившееся пространство ( X ¯ , ρ ¯ ) {displaystyle ({ar {X}},{ar { ho }})} и будет пополнением X {displaystyle X} .

Свойства

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Пополнение метрического M {displaystyle M} пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
  • Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
  • Метрическое пространство X {displaystyle X} компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} пространство X {displaystyle X} можно покрыть конечным числом шаров радиуса ε {displaystyle varepsilon } .
  • Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
  • Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
    • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры

Полные метрические пространства

  • Множество вещественных (действительных) чисел R {displaystyle mathbb {R} } полно в стандартной метрике d ( x , y ) = | x − y | {displaystyle d(x,y)=|x-y|} .
  • Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
  • Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
  • Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

  • Рациональные числа Q {displaystyle mathbb {Q} } со стандартным расстоянием d ( x , y ) = | x − y | {displaystyle d(x,y)=|x-y|} являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } .
  • Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} .
  • Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике d ( f , g ) = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x {displaystyle d(f,g)=int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx} . Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

  • Если X {displaystyle X} имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.