Теорема Минковского о выпуклом теле

Теорема Минковского о выпуклом теле — одна из теорем геометрии чисел, послужившая основой выделения геометрии чисел в раздел теории чисел. Установлена Германом Минковским в 1896 году.

Формулировка

Пусть S {displaystyle S} — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат O {displaystyle O} , n {displaystyle n} -мерного евклидова пространства, имеющее объём ⩾ 2 n {displaystyle geqslant 2^{n}} . Тогда в S {displaystyle S} найдётся целочисленная точка, отличная от O {displaystyle O} .

Доказательство

Ниже приведено доказательство теоремы Минковского для частного случая L = ℤ2. Оно может быть обобщено на произвольную размерность.

Рассмотрим отображение

f : S → R 2 ( x , y ) ↦ ( x mod 2 , y mod 2 ) {displaystyle f:S o mathbb {R} ^{2}qquad (x,y)mapsto (x{mod {2}},y{mod {2}})}

Интуитивно, это отображение нарезает тело на квадраты размером 2 на 2, которые накладывает один поверх другого. Очевидно, что площадь f(S) ≤ 4. Если бы отображение f было инъективно, то части S, вырезанные квадратами, совмещались бы без перекрытия. Так как f сохраняет локальные площади фрагментов, то это свойство непересечения сделало бы отображение f сохраняющим площадь всего S, так что площадь f(S) была бы такой же, как у S - численно больше 4. Раз это не так, то f не инъективно, а следовательно, f(p1) = f(p2) для некоей пары точек p1, p2 ∈ S. Более того, по определению f мы знаем, что p2 = p1 + (2i, 2j) для неких целочисленных i и j, где хотя бы одно из них не равно нулю.

Тогда, так как S симметрично относительно начала координат, −p1 также входит в S. Так как S выпукло, то отрезок между −p1 и p2 полностью лежит в S. Середина этого отрезка

1 2 ( − p 1 + p 2 ) = 1 2 ( − p 1 + p 1 + ( 2 i , 2 j ) ) = ( i , j ) {displaystyle { frac {1}{2}}left(-p_{1}+p_{2} ight)={ frac {1}{2}}left(-p_{1}+p_{1}+(2i,2j) ight)=(i,j)}

лежит в S. (i,j) является целочисленной точкой и не является началом координат (i и j не могут оба быть равными нулю). Таким образом, мы нашли искомую точку.

Вариации и обобщения

• Обобщением теоремы Минковского на невыпуклые множества является теорема Блихфельдта (англ.).
• В 2007 году Николай Дуров показал, что теорема Минковского может быть воспринята как вариант теоремы Римана — Роха для пополненного спектра Z {displaystyle mathbb {Z} } .