Числа Лагранжа

Числа Лагранжа — это последовательность чисел, которые появляются в границах, связанных с приближением иррациональных чисел рациональными. Числа связаны с теоремой Гурвица.

Определение

Гурвиц улучшил критерий Дирихле иррациональности до утверждения, что вещественное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p/q, (в несократимом виде), таких, что

| α − p q | < 1 5 q 2 . {displaystyle left|alpha -{frac {p}{q}} ight|<{frac {1}{{sqrt {5}}q^{2}}}.}

У Дирихле в правой части стояло 1/q2. Вышеприведённый результат является наилучшим, поскольку золотое сечение φ является иррациональным, но если мы заменим √5 любым большим числом в вышеприведённом выражении, мы получим только конечное количество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.

Гурвиц, однако, показал, что если мы исключим φ и производные от него числа, мы можем увеличить число √5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2√2. Снова, это новое число является наилучшим возможным при новых условиях и на этот раз становится проблемным число √2. Если мы запрещаем √2, мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2√2 до √221/5. Повторяя этот процесс, получим бесконечную последовательность √5, 2√2, √221/5, ..., сходящуюся к 3. Эти числа называются числами Лагранжа по имени французского математика Жозефа Луи Лагранжа.

Связь с числами Маркова

Число Лагранжа с номером n, Ln, задаётся формулой

L n = 9 − 4 m n 2 {displaystyle L_{n}={sqrt {9-{frac {4}{{m_{n}}^{2}}}}}} ,

где mn — n-ое число Маркова, являющееся наименьшим n-м целым m, таким, что уравнение

m 2 + x 2 + y 2 = 3 m x y {displaystyle m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy,}

имеет решение для целых положительных чисел x и y.